天津市第四十二中学 张鼎言

　　假设ak>α，由上面的递推式，用比较法：

　　ak+1-α=--α

　　=-

　　=-

　　而α是方程x2+x-1=0的根，

　　∴ak+1-α=->0

　　∴ak+1>α

　　由上数学归纳法可证an>α

　　分析（3）由（2）an>α，又an>α>β

　　∴an>β

　　bn=ln-有意义，同理an-β=-（n≥2）

　　bn=ln-

　　=2ln-=2bn-1

　　b1=ln-=2ln-

　　=2ln-

　　=4ln-

　　Sn=-

　　=b1g（2n-1）

　　=（2n+2-4）gln-

　　注：本题的关键是第（2）问，通过an+1-α，不等式比较法，建立了递推关系。

　　7. 数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=-，Sn=n2an-n（n-1），n=1，2，…

　　（Ⅰ）写出Sn与Sn-1的递推关系式（n2），并求Sn关于n的表达式；

　　（Ⅱ）设fn（x）=-xn+1，bn=fn1（p）（p∈R），求数列{bn}的前n项和Tn。

　　解（Ⅰ）由已知Sn=n2（Sn-Sn-1）-n（n-1），（n2）。

　　（n2-1）Sn=n2Sn-1+n（n-1）

　　两边同除以n（n-1），

　　-Sn=-Sn-1+1

　　设cn=-Sn，

　　cn=cn-1+1，

　　由S1=a1=-，c1=1

　　∴cn=1+（n-1）=n

　　Sn=-

　　（Ⅱ）fn（x）=-xn+1=-xn+1，f'n（x）=nxn

　　bn=npn

　　设Tn=b1+b2+…+bn=p+2p2+3p3+…+npn （1）

　　当p=0时，Tn=0

　　p=1时，

　　Tn=1+2+…+n=-n（n+1）

　　pTn=p2+2p3+…+npn+1 （2）

　　（1）-（2） Tn-PTn=p+p2+…+pn-npn+1

　　∴Tn=---，（p≠0， p≠1）

　　注：在递推关系中，设cn是关键，从Sn-1→Sn与-→-是同样的递推。在递推中着眼点是关于n的结构上的一致性。

　　8. 设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1，n=1，2，3，…

　　（Ⅰ）求a1，a2；

　　（Ⅱ）求{an}的通项公式

　　（Ⅰ）n=1，a1=S1，（a1-1）2-a1（a1-1）-a1=0，a1=-；

　　n=2，S2=a1+a2=-+a2，

　　S2-1=a2--，

　　代入（a2--）2-a2（a2--）-a2=0，a2=-，S2=-+-=-；

　　（Ⅱ）（Sn-1）2-an（Sn-1）-an=0，（Sn-1）（Sn-an-1）-an=0，

　　（Sn-1）（Sn-1-1）-（Sn-Sn-1）=0，Sn·Sn-1-2Sn+1=0

　　以上是把an转化成Sn，理由是把Sn转换成an走不通，实际上求出Sn，an也可求出。

　　由S1=-，S2=-，进一步可求出S3=-，猜想Sn=-，用数字归纳法n=2时命题成立，假定Sk=-，

　　由关于Sn的递推式，

　　Sk+1=-=-=-，

　　∴Sn=-，an=-

　　注：由递推公式求通项，从特殊到一般，先求出n=1，2，3，…归纳假设提出猜想，再去证明猜想。

　　9. 已知函数f（x）=x-sinx，数列{an}满足：0

　　证明（Ⅰ）0

　　（Ⅱ）an+1<-an3

　　证明（Ⅰ）由已知an+1=f（an），是以函数形式给出的递推关系，-，

　　先用数学归纳法证明：0

　　n=1由已知0

　　考虑函数f（x）=x-sinx，f'（x）=1-cosx，

　　∵0

　　∴f'（x）>0，f（x）↑

　　f（x）在[0，1]上连续

　　∴f（0）

　　∴0

　　又∵an+1=f（an）=an-sinan，00，

　　∴an-an+1=sinan>0

　　∴0

　　（Ⅱ）要证an+1<-an3，需证-an3-an+1>0，构造函数g（x）=-x3-x+sinx（0

　　g'（x）=-x2-1+cosx

　　=-x2-2sin2-

　　=2[（-）2-（sin-）2]

　　当0<-<-时，用单位圆易证->sin->0

　　∴g'（x）>0，g（x）↑0

　　∴g（an）>g（0），-an3-an+sinan>0

　　-an3>an-sinan=an-1

　　注：本题是以函数形式确定递推关系，把递推式中项与项的大小关系转化为函数的单调性。