天津市第四十二中学 李艳杰

　　近几年高考中轨迹方程问题常与向量相结合，向量引入圆锥曲线可以启迪我们从一个新的角度去分析、解决问题，有利于开发智力，提高能力。在解析几何中充分运用向量的知识，常能使很多繁琐的计算变得简单易行，起到事半功倍的效果。笔者以教学中所遇的几例加以说明。

　　一、直接法求轨迹方程

　　例1：如图，已知F（1，0），直线l：x=-1，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且-·■=-·■。

　　（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；

　　（Ⅱ）过点F的直线交轨迹C于A，B两点，交直线l于点M。

　　（1）已知-=1-，-=2-，求1+2的值；

　　（2）求-·■ 的最小值。

　　解法一：（Ⅰ）设点P（x，y），则Q（-1，y），由-·■=-·■得：

　　（x+1，0）·（2，-y）=（x-1，y）·（-2，y），化简得C：y2=4x

　　解法二：（Ⅰ）由-·■=-·■得：-·（-+-）=0，

　　∴（---）·（-+-）=0

　　∴-2--2=0

　　∴|-|=|-|

　　所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：y2=4x。

　　（Ⅱ）解法从略。

　　【点拨】本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。

　　例2：设过点P（x，y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若-=2-且-·■=1，则点P的轨迹方程是（ ）

　　A.3x2+-y2=1（x>0，y>0）

　　B.3x2--y2=1（x>0，y>0）

　　C.-x2-3y2=1（x>0，y>0）

　　D.-x2+3y2=1（x>0，y>0）

　　解：设P（x，y），则Q（-x，y），又设A（a，0），B（0，b），则a>0，b>0，于是-=（x，y-b），-=（a-x，-y），由-=2-可得a＝-x，b＝3y，所以x>0，y>0又-＝（-a，b）＝（--x，3y），由-·■=1可得-x2+3y2=1（x>0，y>0），所以选D。